Tíu þrep. Fullyrðing birtist og þú metur hvort hún sé alltaf sönn, stundum eða aldrei. Á voginni geturðu sett inn tölur og séð hvort hliðarnar vegi jafnt.
Þrepin opnast eitt af öðru. Kanntu efnið þegar? Ýttu á læst þrep til að opna það.
1. þrep: Jafnaðarmerkið
Merkið = segir að vinstri hliðin og hægri hliðin séu sama talan. Það þýðir ekki „hér kemur svarið“.
Þess vegna er 9 = 4 + 5 alveg jafn satt og 4 + 5 = 9.
Reiknaðu hvora hlið fyrir sig og berðu þær saman. Margföldun kemur á undan samlagningu, nema svigi segi annað.
Hér eru engir bókstafir, svo ekkert getur breyst. Fullyrðingin er annaðhvort alltaf sönn eða aldrei sönn.
2. þrep: Bókstafur er tala
x er tala sem við vitum ekki hver er. Hún getur verið 0, 5, −3 eða hvaða önnur tala sem er.
2x þýðir 2 sinnum x. Margföldunarmerkinu er sleppt á milli tölu og bókstafs.
Nú eru þrír möguleikar. Alltaf satt: hliðarnar eru jafnar hvaða tala sem x er. Stundum satt: sumar tölur ganga upp en aðrar ekki. Aldrei satt: engin tala gengur upp.
Tala sem lætur fullyrðingu bregðast heitir gagndæmi. Eitt gagndæmi dugar til að sýna að hún sé ekki alltaf sönn.
3. þrep: Sams konar liðir
Í 3x + 2 eru tveir liðir, 3x og 2. Plús og mínus skilja liðina að.
Talan fyrir framan x heitir stuðull. Í 3x er stuðullinn 3.
2x og 3x eru sams konar liðir. Þá leggurðu saman stuðlana og x stendur óbreytt: 2x + 3x = 5x.
3 og 2x eru ekki sams konar, svo 3 + 2x verður ekki einfaldara.
4. þrep: Mínus og svigar
Tala fyrir framan sviga margfaldast inn í hvern lið í honum: 3(x + 2) = 3x + 6. Þetta heitir dreifireglan.
Mínus fyrir framan sviga breytir formerki allra liðanna í honum: −(x + 2) = −x − 2.
Algengasta villan er að breyta aðeins fyrsta liðnum. Skoðaðu alltaf þann síðasta líka.
−x er andstæð tala x. Þær eru jafn langt frá 0, hvor sínum megin. Mínus sinnum mínus er plús, svo −(−x) = x.
5. þrep: Veldi og formerki
x² þýðir x sinnum x og er lesið „x í öðru veldi“. Litla talan heitir veldisvísir.
Veldið á aðeins við það sem það situr á. Í −3² situr það á 3, svo fyrst kemur 3² = 9 og svo mínusinn: −3² = −9.
Með sviga fer mínusinn með í veldið: (−3)² = 9, því mínus sinnum mínus er plús.
Tala í öðru veldi getur aldrei orðið neikvæð. Í þriðja veldi heldur mínusinn sér: (−2)³ = −8.
6. þrep: Hvað dreifist?
Nú eru bókstafirnir tveir, a og b. ab þýðir a sinnum b.
Dreifireglan gildir um margföldun: 2(a + b) = 2a + 2b.
Hún gildir ekki um veldi. (a + b)² er (a + b)(a + b), og hvor liður í fyrri sviganum margfaldast með báðum liðunum í þeim seinni: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Miðliðurinn 2ab er það sem gleymist. Hann hverfur aðeins þegar a eða b er 0.
7. þrep: Kvaðratrætur
√9 = 3, því 3 sinnum 3 er 9. Kvaðratrót er aldrei neikvæð.
Kvaðratrót af neikvæðri tölu er ekki til, því engin tala margfölduð með sjálfri sér verður neikvæð.
Rótin dreifist ekki yfir plús: √(9 + 16) = 5 en √9 + √16 = 7. Yfir margföldun má hins vegar skipta henni: √(4 · 9) = √4 · √9.
Tölur þar sem önnur hliðin er ekki til teljast ekki með. Alltaf satt þýðir hér: satt fyrir allar tölur þar sem báðar hliðar eru til.
8. þrep: Brot
Það sem stendur fyrir ofan brotastrikið heitir teljari og það sem stendur fyrir neðan nefnari.
Þættir eru það sem er margfaldað saman. Í 2(x + 1) eru þættirnir 2 og x + 1.
Aðeins þætti má stytta. Í (x + 2)/2 er 2 liður í teljaranum en ekki þáttur, svo ekki má stytta tvistinn burt. Deildu frekar hverjum lið með 2: (x + 2)/2 = x/2 + 1.
Það má aldrei deila með núlli. Ef nefnarinn verður 0 er brotið ekki til og sú tala telst ekki með.
9. þrep: Jöfnur og samsemdir
Fullyrðing sem er stundum sönn er jafna sem sumar tölur uppfylla en aðrar ekki. Tala sem gerir jöfnuna sanna heitir lausn: 2x + 1 = 7 er sönn þegar x = 3.
Jafna sem er sönn fyrir allar tölur heitir samsemd, til dæmis 2(x + 1) = 2x + 2.
Jafna sem er aldrei sönn hefur enga lausn, til dæmis x + 1 = x.
Varastu að deila með x. Í x² = x gefur það x = 1, en x = 0 er líka lausn og hún týnist á leiðinni.
10. þrep: Allt blandað
Prófaðu fyrst nokkrar tölur, til dæmis 0, 1, 2 og eina neikvæða.
Ein tala sem bregst útilokar „alltaf“. Ein tala sem gengur upp útilokar „aldrei“.
Finnirðu enga tölu sem bregst skaltu leita að reglunni: taktu sviga í sundur, taktu saman sams konar liði og berðu hliðarnar saman.
Gildrurnar eru þær sömu og áður: mínus fyrir framan sviga, svigi í öðru veldi, rót af tveimur liðum og stytting liða í broti.
Hvenær er þetta satt?
Þrepi lokið
Síðast uppfært .
Hver er munurinn á jöfnu og samsemd?
Samsemd er jafna sem er sönn fyrir allar tölur. Aðrar jöfnur eru aðeins sannar fyrir sumar tölur, og sumar fyrir engar. 2(x + 1) = 2x + 2 er samsemd, því hliðarnar verða eins þegar sviginn er tekinn í sundur. 2x + 1 = 7 er aðeins sönn þegar x er 3, og sú tala er lausn jöfnunnar. x + 1 = x hefur enga lausn, því engin tala er einum stærri en hún sjálf.
Satt, stundum, ósatt á kokomo.is byggir á þessum þremur gerðum. Hver fullyrðing er alltaf sönn, stundum eða aldrei, og þú velur hvað á við. Þær eru yfir hundrað í tíu þrepum, frá jafnaðarmerkinu upp í veldi, rætur og brot, og flokkun hverrar einustu er sannreynd með forriti. Sumar koma á óvart: √(a + b) = √a + √b er stundum sönn, því hún gengur upp þegar a eða b er 0. Á voginni prófarðu tölur, og eftir hvert svar sýnir leikurinn dæmið eða regluna sem sker úr.
Algengar spurningar
- Hvað er Satt, stundum, ósatt?
- Satt, stundum, ósatt er æfingaleikur á kokomo.is í tíu þrepum um algebru. Fullyrðing birtist, til dæmis að (a + b)² sé það sama og a² + b², og þú metur hvort hún sé alltaf sönn, stundum sönn eða aldrei sönn. Á vog geturðu sett inn tölur fyrir bókstafina og séð hvort hliðarnar vegi jafnt. Skýring fylgir hverju svari.
- Er (a + b)² það sama og a² + b²?
- Aðeins stundum. Rétt er (a + b)² = a² + 2ab + b², og miðliðurinn 2ab hverfur aðeins þegar a eða b er 0. Ef a = 2 og b = 3 er vinstri hliðin 25 en hægri hliðin 13, og eitt slíkt gagndæmi dugar til að sýna að fullyrðingin sé ekki alltaf sönn.
- Hvað er gagndæmi?
- Gagndæmi er dæmi sem lætur fullyrðingu bregðast, eins og a = 2 og b = 3 í (a + b)² = a² + b². Eitt gagndæmi dugar til að sýna að fullyrðing sé ekki alltaf sönn. Dæmi sem ganga upp sanna hins vegar aldrei að hún sé alltaf sönn, sama hve mörg þau eru. Til þess þarf reglu, til dæmis dreifiregluna.