Mengi eru fyrsta efnið í stærðfræði framhaldsskólans og margt síðar byggir á þeim. Hér ferðu í gegnum þau skref fyrir skref: fyrst hvað mengi er, svo stökin, Venn-myndirnar og aðgerðirnar. Hvert þrep opnast þegar þú klárar það á undan.
Framvindan þín
Þrepin opnast eitt af öðru. Kanntu efnið þegar? Ýttu á læst þrep til að opna það.
- 1
Hvað er mengi?
Reglan sem segir hvað á heima í menginu - 2
Stök og táknið ∈
Að vera stak í mengi, eða ekki - 3
Að skrá mengi
Röð og endurtekningar skipta ekki máli - 4
Venn-myndir
Stökin lesin af mynd - 5
Fjöldatölur
Fjöldi staka og tómamengið - 6
Hlutmengi
Munurinn á ∈ og ⊆ - 7
Tegundir talna
Talning, neikvæðar tölur og brot - 8
Talnamengin
ℕ, ℤ, ℚ og ℝ - 9
Sammengi og sniðmengi
Reiknað úr upptalningu - 10
Aðgerðirnar á mynd
A ∪ B og A ∩ B lituð á Venn-mynd - 11
Grunnmengi og fyllimengi
Ramminn G og allt utan A - 12
Mismengi
A \ B og B \ A eru ekki það sama - 13
Samsettar aðgerðir
Svigar, og myndin lesin til baka - 14
Skilyrði og bil
Mengjaritháttur og bil á talnalínu - 15
Orðadæmi
Fjöldatölur í raunverulegum dæmum
Hugtökin í þrepunum
1. Mengi og stök
Mengi er safn af hlutum sem kallast stök. Það er ritað innan slaufusviga: A = {2, 4, 6}.
Reglan sem skilgreinir mengið verður að vera afdráttarlaus: um hvern hlut gildir annaðhvort að hann er í menginu eða ekki, ekkert þar á milli.
2. Táknið ∈
∈ þýðir er stak í. 4 ∈ A er lesið „fjórir er stak í A“.
∉ er sama tákn með striki yfir og þýðir er ekki stak í.
Táknið tengir alltaf EITT stak við eitt mengi. Fyrir mengi og mengi er annað tákn, sjá 6. þrep.
3. Röð og endurtekning
Röðin skiptir engu máli og endurtekning breytir engu. Þessi þrjú eru sama mengið: {2, 4, 6}, {6, 4, 2} og {2, 4, 4, 6}.
Það eina sem gildir er hvaða stök eru í menginu.
4. Að lesa Venn-mynd
Hver hringur stendur fyrir eitt mengi og stökin eru skrifuð inni í honum.
Skarist tveir hringir eiga stökin í sköruninni heima í báðum mengjunum.
Það sem stendur utan allra hringja tilheyrir engu þeirra, en er samt innan grunnmengisins ef rammi er teiknaður.
5. Fjöldatölur og tómamengið
|A| er fjöldi staka í A. |{2, 4, 6}| = 3.
Stak sem er skrifað tvisvar telst einu sinni, svo |{1, 3, 3}| = 2.
Mengi án staka heitir tómamengið, ritað ∅ eða { }, og |∅| = 0.
6. ∈ eða ⊆
∈ tengir stak við mengi. ⊆ tengir mengi við mengi.
A ⊆ B þýðir að hvert einasta stak í A sé líka í B.
Sérhvert mengi er hlutmengi sjálfs sín, og tómamengið er hlutmengi allra mengja.
7. Tegundir talna
Tölurnar sem maður telur með eru 1, 2, 3, 4 og áfram. Þær heita náttúrulegar tölur.
Þegar núll og neikvæðu tölurnar bætast við heitir hópurinn heilar tölur: … −2, −1, 0, 1, 2 …
Hver sú tala sem má rita sem brot af heilum tölum er ræð tala. Þar eru brot eins og 3/4, tugabrot sem stöðvast eins og 0,25 (sem er 1/4), tugabrot sem endurtekur sig eins og 0,333… (sem er 1/3), og heilu tölurnar sjálfar, því −5 er sama og −5/1.
Sumar tölur má EKKI rita sem brot. Þær heita óræðar, til dæmis √2 og π. Tugabrotið þeirra endar aldrei og endurtekur sig aldrei.
Ræðu og óræðu tölurnar saman heita rauntölur. Það eru allar tölur sem hægt er að merkja á talnalínuna, og það er stærsti hópurinn.
Táknin fyrir þessa hópa koma í næsta þrepi.
8. Talnamengin fjögur
ℕ náttúrulegar tölur: 1, 2, 3 og áfram, tölurnar sem maður telur með.
ℤ heilar tölur: náttúrulegu tölurnar, núll og þær neikvæðu: … −2, −1, 0, 1, 2 …
ℚ ræðar tölur: allar tölur sem má rita sem brot af heilum tölum. Þar á meðal eru 3/4, −5 og 0,25 (sem er 1/4). Tugabrot sem stöðvast eða endurtekur sig er ræð tala.
ℝ rauntölur: allar tölur á talnalínunni, líka þær óræðu sem ekki má rita sem brot, eins og √2 og π.
Hvert mengi er inni í því næsta: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
9. Sammengi og sniðmengi
A ∪ B, lesið „A sam B“, tekur allt sem er í A eða B eða báðum. Hvert stak er skrifað einu sinni þótt það sé í báðum.
A ∩ B, lesið „A snið B“, tekur aðeins stökin sem eru í báðum mengjunum.
Gott minnisatriði: ∪ er eins og U í „úrval af öllu“, ∩ er hvolfið og lokar á það sem aðeins annað mengið á.
10. Aðgerðirnar á mynd
Á Venn-mynd er A ∪ B allt sem er innan annars hvors hringsins.
A ∩ B er aðeins skörunin þar sem hringirnir liggja saman.
Gott ráð: litaðu hvorn hring fyrir sig í huganum og berðu svo saman hvað varð tvílitað og hvað einlitað.
11. Grunnmengi og fyllimengi
G er grunnmengið, ramminn utan um allt sem er til umræðu í dæminu.
A′ er fyllimengi A: allt í G sem er ekki í A.
Fyllimengi er alltaf háð grunnmenginu. Án G er ekki hægt að finna A′, því þá er ekki ljóst hvað „allt hitt“ á að ná yfir.
12. Mismengi
A \ B er allt sem er í A en ekki í B.
Hér skiptir röðin máli: A \ B og B \ A eru sitt hvort mengið. Það er ólíkt sammengi og sniðmengi, þar sem röðin breytir engu.
13. Svigar ráða röðinni
Svigar virka eins og í venjulegum reikningi: reiknaðu innsta svigann fyrst.
(A ∪ B) ∩ C er ekki það sama og A ∪ (B ∩ C).
Þegar mynd er lesin til baka í tákn borgar sig að spyrja fyrst: er svæðið innan eins hrings, tveggja, eða utan allra?
14. Skilyrði og bil
Mengi má skrá með skilyrði í stað upptalningar: {x ∈ ℝ | x > 3} er lesið „öll rauntöluleg x þannig að x sé stærra en 3“.
Bil er stytting á slíku skilyrði. Hornklofi tekur endapunktinn með, svigi sleppir honum.
[2, 5] er 2 ≤ x ≤ 5. ]2, 5] er 2 < x ≤ 5. ]2, 5[ er 2 < x < 5.
15. Fjöldatölur í orðadæmum
Í orðadæmum svarar hvert mengi einum hópi. Þeir sem gera hvort tveggja eru í sniðmenginu.
Passaðu að telja þá EINU SINNI í sammenginu. Þess vegna gildir |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Þeir sem eru í hvorugum hópnum standa utan beggja hringja en innan grunnmengisins, svo þeir teljast með í heildinni en hvergi annars staðar.
Áttu vin sem er líka að læra um mengi?
Síðast uppfært .
Í hvaða röð er best að læra mengin?
Þrepin fimmtán eru sett í þá röð sem hvert byggir á því á undan. Fyrst kemur hvað mengi er, svo stökin og táknið sem segir að stak sé í mengi, svo hvernig mengi er skráð. Þá koma Venn-myndirnar, fjöldatölur og hlutmengi. Þar á eftir talnamengin, og loks aðgerðirnar: sammengi og sniðmengi, fyllimengi, mismengi og samsettar aðgerðir.
Síðustu tvö þrepin eru skilyrði og bil annars vegar og orðadæmi hins vegar, því það er þar sem mengjafræðin er raunverulega notuð í prófum. Hvert þrep hefur gagnvirka Venn-mynd þar sem þú getur smellt á svæðin og séð hvað hver aðgerð tekur með og hvað hún skilur eftir. Efnið er sniðið að stærðfræði á öðru þrepi framhaldsskóla, en mengi koma líka fyrir í áttunda bekk og þrepin byrja alveg frá grunni. Þú getur hoppað beint á það þrep sem þú þarft að rifja upp.
Algengar spurningar
- Hvað er mengi?
- Mengi er safn af hlutum sem kallast stök. Mengi er ritað innan slaufusviga, til dæmis A = {2, 4, 6}. Hvert stak telst einu sinni og röðin skiptir ekki máli, svo {2, 4, 6} og {6, 4, 2} eru sama mengið.
- Hver er munurinn á sammengi og sniðmengi?
- Sammengi A og B, ritað A ∪ B og lesið „A sam B“, inniheldur öll stök sem eru í A eða B eða báðum. Sniðmengi A og B, ritað A ∩ B og lesið „A snið B“, inniheldur aðeins stökin sem eru í báðum mengjunum.
- Fyrir hverja er Mengi á Kokomo?
- Þrepin eru hugsuð fyrir nemendur sem mæta mengjum í stærðfræðiáfanga á öðru þrepi framhaldsskóla, og fyrir unglingastig grunnskóla þar sem mengi koma fyrir í 8. bekk. Byrjað er á því hvað mengi er, svo koma stökin, Venn-myndirnar og aðgerðirnar, og endað á bilum og orðadæmum.